Bài Toán Tổng Tỉ Và Hiệu Tỉ: Một Sơ Đồ Cho Cả Hai

Con lớp 5 mang về bài: “Hai thùng gạo chứa tất cả 54 kg. Số gạo ở thùng thứ nhất bằng 2/7 số gạo ở thùng thứ hai. Mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam?” Bạn nhớ có “tổng chia cho tổng số phần”, nhưng không chắc thùng nào là 2 phần, thùng nào là 7. Con thì chia 54 cho 2, rồi chia 54 cho 7, và ra hai con số lẻ. Cả hai cùng thấy mình đang đoán.

Bài toán tổng tỉ là bài cho biết tổng của hai số và tỉ số giữa chúng, yêu cầu tìm từng số. Cách giải gọn nhất là vẽ hai đoạn thẳng chia thành các phần bằng nhau theo tỉ số, tìm giá trị một phần bằng tổng chia cho tổng số phần. Hiệu tỉ làm tương tự, nhưng lấy hiệu chia cho hiệu số phần.

Bài này đi sau bài tổng hiệu bằng sơ đồ đoạn thẳng. Cùng một cách vẽ, chỉ khác ở chỗ hai đoạn không còn hơn kém nhau “bao nhiêu” mà hơn kém nhau “gấp mấy lần”. Bạn sẽ có 12 bài giải đầy đủ xếp từ dễ đến khó, mỗi bài kèm câu hỏi gợi mở và đáp án sai mà trẻ hay chọn. Cả 12 bài cũng có trong một file PDF để in, kèm sơ đồ đoạn thẳng ở phần đáp án.

💡 Tóm tắt nhanh:

• Tỉ số 2/7 nghĩa là chia một đoạn thành 2 phần và đoạn kia thành 7 phần, mọi phần dài bằng nhau
• Tổng tỉ: giá trị một phần = tổng : (tổng số phần). Hiệu tỉ: giá trị một phần = hiệu : (hiệu số phần)
• Sơ đồ cho cả hai dạng chỉ khác nhau ở chỗ con đọc “tổng” hay “hiệu” trên bức tranh
• Bốn bẫy chính: tỉ số ngược, đếm nhầm số phần, quên đổi đơn vị, và bài tuổi (hiệu tuổi không đổi, tổng tuổi thì có)
• Làm theo 3 mức (vừa sức, thử thách, rất khó) và dừng khi con bắt đầu đoán mò

Tổng tỉ và hiệu tỉ là gì, học ở lớp mấy?

“Tỉ số của hai số” là kết quả so sánh số này với số kia bằng phép chia. Nếu An có 12 viên bi và Bình có 18 viên bi, tỉ số bi của An và Bình là 12 : 18, rút gọn còn 2/3. Câu “số bi của An bằng 2/3 số bi của Bình” là cách nói khác của cùng một ý. Còn “Bình có số bi gấp rưỡi An” thì nói theo hướng ngược lại.

Theo chương trình GDPT 2018, nội dung tỉ số và các bài toán liên quan nằm ở Toán lớp 5 (sách Kết nối tri thức đặt ở tập 2; Cánh Diều và Chân trời sáng tạo có thể sắp xếp lệch vài tuần, bạn hãy xem mục lục sách của con). Trong bài toán nâng cao lớp 5, tổng–tỉ và hiệu–tỉ là một trong tám nhóm dạng, và là nhóm mà sơ đồ đoạn thẳng phát huy sức mạnh nhất.

Điều kiện để học tốt dạng này là con đã vững hai thứ. Thứ nhất là sơ đồ tổng hiệu (hai đoạn hơn kém nhau một phần). Thứ hai là phân số cơ bản: hiểu “2/7 của một số” nghĩa là chia số đó thành 7 phần bằng nhau rồi lấy 2 phần. Nếu chỗ này còn lung lay, hãy ôn bài phân số lớp 4 trước, rồi quay lại.

Dạng này cũng không cô lập. Nó nằm cùng nhiều dạng khác trong các dạng toán nâng cao lớp 4 và lớp 5, nên điều quan trọng không phải con thuộc “dạng nào dùng công thức nào”, mà là con nhìn ra: hai đoạn này được chia thành những phần như thế nào?

Bức tranh cốt lõi: các phần bằng nhau

Hãy làm một lần cùng con với bài đơn giản nhất. Hai số có tổng là 40, số lớn gấp 3 lần số bé. Tìm hai số.

Bước 1. Vẽ đoạn của số bé: một phần. Một đoạn ngắn, ghi “bé”.

Bước 2. Vẽ đoạn của số lớn: ba phần cùng độ dài. Con phải vẽ đúng 3 đoạn nhỏ bằng đoạn của số bé, nối tiếp nhau. Đây là lúc nhiều con vẽ ẩu. Hãy nhắc: “Mỗi phần phải bằng nhau, vì chúng đều là một phần.”

Bước 3. Ghi tổng. Một dấu ngoặc ở ngoài hai đoạn, viết 40.

Bước 4. Đếm tổng số phần. 1 + 3 = 4 phần. Cả hai đoạn cộng lại bằng 40, nên 4 phần bằng 40.

Bước 5. Tìm một phần. 40 : 4 = 10. Số bé là 1 phần: 10. Số lớn là 3 phần: 10 × 3 = 30.

Bước 6. Thử lại. 10 + 30 = 40 (đúng tổng) và 30 : 10 = 3 (đúng tỉ số).

Với hiệu tỉ, bước 3 và 4 đổi. Thay vì “cả hai đoạn cộng lại”, con tìm phần dài thêm của đoạn lớn, tức là đoạn lớn hơn đoạn bé mấy phần, và hiệu cho trước chính là giá trị của những phần đó.

	Tổng tỉ	Hiệu tỉ
Đề cho	Tổng và tỉ số	Hiệu và tỉ số
Con vẽ	Hai đoạn chia phần theo tỉ số	Hai đoạn chia phần theo tỉ số
Con đếm	Tổng số phần (cộng)	Hiệu số phần (trừ)
Giá trị một phần	Tổng : tổng số phần	Hiệu : hiệu số phần
Số bé, số lớn	Số phần của mỗi số × giá trị một phần	Số phần của mỗi số × giá trị một phần

Để ý hai dòng cuối: sau khi có “một phần”, hai dạng làm giống hệt nhau. Vì vậy ta nói chỉ cần một sơ đồ cho cả hai.

Trước khi vẽ trên giấy, bạn có thể cho con gấp một dải giấy dài thành 3 phần bằng nhau, rồi cắt một phần ra làm “đoạn của số bé”. Khi con cầm trên tay một dải giấy dài đúng bằng ba lần dải kia, từ “gấp 3 lần” không còn là chữ.

Con nói thành lời (để biết con hiểu): “Đề cho tỉ số, nên con chia mỗi số thành các phần bằng nhau. Cả hai số có tất cả bấy nhiêu phần. Tổng chia cho số phần ra một phần. Rồi con nhân lên cho từng số.”

Tổng tỉ: ba bài vừa sức (lớp 5)

Mức đầu tiên, con chỉ cần vẽ, đếm phần, chia và nhân. Đề nói thẳng tổng và tỉ số.

Bài 1. Hai số cho sẵn (làm mẫu ở trên)

Hai số có tổng là 40, số lớn gấp 3 lần số bé. Tìm hai số.

Hỏi gợi mở:

• “Số nào chỉ có một phần? Số nào có ba phần?”
• “Cả hai số cộng lại là bao nhiêu phần?”
• “Một phần bằng bao nhiêu?”

Lời giải: Số bé 1 phần, số lớn 3 phần, tất cả 1 + 3 = 4 phần. Một phần: 40 : 4 = 10. Số bé là 10, số lớn là 10 × 3 = 30. Thử lại: 10 + 30 = 40; 30 : 10 = 3.

Đáp số: 10 và 30.

Đáp án sai hay gặp: “20 và 20” hoặc “13 và 27”. Con chia đôi 40 như bài tổng hiệu quen thuộc, hoặc lấy 40 : 3 làm số bé. Đây là lỗi cứ thấy hai số là chia 2. Hãy hỏi: “Số lớn gấp 3 lần số bé, vậy hai số có bằng nhau được không?”

Dừng lại khi: con vẽ ba phần mà độ dài không đều nhau rồi nhầm khi đếm. Cho con gấp dải giấy hoặc dùng ô vuông trong vở thay vì kẻ tay.

Bài 2. Nhãn dán của An và Bình

An và Bình có tất cả 45 nhãn dán. Số nhãn của An bằng 2/3 số nhãn của Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu nhãn?

Hỏi gợi mở:

• “Phân số 2/3 cho con biết điều gì: ai chia thành mấy phần?”
• “An bằng 2/3 Bình, vậy ai ít hơn, đoạn của ai ngắn hơn?”

Lời giải: An 2 phần, Bình 3 phần. Tổng số phần: 2 + 3 = 5. Một phần: 45 : 5 = 9 nhãn. An: 9 × 2 = 18 nhãn. Bình: 9 × 3 = 27 nhãn. Thử lại: 18 + 27 = 45; 18/27 = 2/3.

Đáp số: An 18 nhãn, Bình 27 nhãn.

Đáp án sai hay gặp: “An 27, Bình 18” (đảo hai số). Con tính đúng một phần nhưng gán nhầm số phần. Cách chặn: viết tên “An”, “Bình” lên đoạn trước khi tô phần, và hỏi “người ít hơn thì có 18 hay 27?”

Dừng lại khi: con chưa hiểu “2/3 của số khác” nghĩa là gì. Quay lại phân số với vật thật: 6 viên kẹo, lấy 2/3 là mấy viên.

Bài 3. Học sinh lớp 5A

Lớp 5A có 32 học sinh. Số học sinh nữ bằng 3/5 số học sinh nam. Hỏi lớp có bao nhiêu bạn nữ, bao nhiêu bạn nam?

Hỏi gợi mở:

• “Nữ bằng 3/5 nam, nên đoạn của nữ chia mấy phần, đoạn của nam chia mấy phần?”
• “32 là tổng của những số nào?”

Lời giải: Nữ 3 phần, nam 5 phần, tất cả 3 + 5 = 8 phần. Một phần: 32 : 8 = 4 bạn. Nữ: 4 × 3 = 12 bạn. Nam: 4 × 5 = 20 bạn. Thử lại: 12 + 20 = 32; 12/20 = 3/5.

Đáp số: 12 bạn nữ, 20 bạn nam.

Đáp án sai hay gặp: 32 : 3 = 10 dư 2, hoặc 32 : 5 = 6 dư 2. Con chia 32 cho một số duy nhất trong tỉ số. Dư hai lần liên tiếp là tín hiệu: “Con đã chia cho tổng số phần chưa?”

Dừng lại khi: con tính đúng ba bài liền nhưng vẫn phải đếm phần bằng ngón tay. Điều đó vẫn ổn, chỉ cần thêm vài bài với số khác.

Hiệu tỉ: hai bài vừa sức

Bây giờ đề cho hiệu thay cho tổng. Bức tranh vẫn là hai đoạn chia phần, nhưng con tìm phần dài thêm.

Bài 4. Hai số hơn kém 18

Hiệu của hai số là 18. Số lớn gấp 3 lần số bé. Tìm hai số.

Hỏi gợi mở:

• “Số bé một phần, số lớn ba phần. Số lớn hơn số bé mấy phần?”
• “Mấy phần đó bằng bao nhiêu theo đề?”

Lời giải: Số lớn hơn số bé 3 − 1 = 2 phần. Hai phần đó bằng 18, nên một phần là 18 : 2 = 9. Số bé: 9. Số lớn: 9 × 3 = 27. Thử lại: 27 − 9 = 18; 27 : 9 = 3.

Đáp số: 9 và 27.

Đáp án sai hay gặp: “6 và 24” (lấy 18 : 3 = 6, rồi 6 + 18 = 24). Con chia hiệu cho số phần của số lớn thay vì cho hiệu số phần. Hãy chỉ vào bức tranh: “Phần dài thêm của đoạn lớn gồm mấy phần nhỏ?”

Dừng lại khi: con thấy cộng và trừ phần dễ lẫn. Tô màu phần dài thêm bằng bút khác màu, rồi chỉ đếm những ô đó.

Bài 5. Vở của An và Bình

An có ít hơn Bình 14 quyển vở. Số vở của An bằng 3/5 số vở của Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?

Hỏi gợi mở:

• “Ai ít hơn? Vậy đoạn của An có mấy phần, đoạn của Bình có mấy phần?”
• “14 quyển ứng với phần nào của sơ đồ?”

Lời giải: An 3 phần, Bình 5 phần. Hiệu số phần: 5 − 3 = 2. Hai phần đó là 14 quyển, nên một phần là 14 : 2 = 7. An: 7 × 3 = 21 quyển. Bình: 7 × 5 = 35 quyển. Thử lại: 35 − 21 = 14; 21/35 = 3/5.

Đáp số: An 21 quyển, Bình 35 quyển.

Đáp án sai hay gặp: “An 14, Bình 28” hoặc dùng luôn 14 làm một phần. Con lẫn giữa “hơn 14 quyển” và “một phần là 14”. Hỏi lại: “14 quyển là phần dài thêm hay là một ô nhỏ?”

Dừng lại khi: con làm đúng nhưng chỉ đúng khi bạn nhắc “trừ”. Hãy cho con tự giải thích hai bài tổng tỉ và hiệu tỉ khác nhau chỗ nào, trước khi sang mức khác.

Bốn bẫy quen thuộc của tổng tỉ và hiệu tỉ

Tới đây con đã làm đúng 5 bài. Đề thi và bài khó mới bắt đầu “gài” con. Bảng dưới đây gom các bẫy, để bạn biết hỏi gì khi con sai.

Bẫy	Biểu hiện	Vì sao con sai	Câu hỏi bạn nên hỏi
Tỉ số ngược	Gán 7 phần cho số bé	Đọc “bằng 2/7” nhưng nhớ ngược hướng	”Ai ít hơn thì đoạn ai ngắn hơn?”
Đếm nhầm số phần	Cộng thay vì trừ ở hiệu tỉ, hoặc chia cho một số	Chưa hỏi “đề cho tổng hay hiệu?"	"Con cộng hay trừ số phần, và vì sao?”
Quên đổi đơn vị	Tổng 2 m 40 cm, nhưng tính với 2,4 và 40	Trộn hai đơn vị	”Hai số này cùng đơn vị chưa?”
Bài tuổi	Giữ nguyên tổng tuổi khi thêm năm	Không biết hiệu tuổi mới là thứ không đổi	”Sau mấy năm, thứ gì không đổi, thứ gì đổi?”

Bạn không cần nhớ hết. Chỉ cần nhớ: mọi bẫy đều lộ ra khi con thử lại bằng đề. Hãy tập cho con thói quen đó ngay từ bài 1.

Bài 6 đến 10: Thử thách, khi đề giấu tổng hoặc hiệu

Phần này làm khó con, và cũng gần với kiểu đề đánh giá năng lực: đề kể một tình huống, con phải tự tìm tổng, hiệu hoặc tỉ số. Làm 2 đến 3 bài mỗi tuần là đủ.

Bài 6. Bẫy tỉ số ngược: hai thùng gạo

Hai thùng gạo chứa tất cả 54 kg. Số gạo ở thùng thứ nhất bằng 2/7 số gạo ở thùng thứ hai. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Hỏi gợi mở:

• “Thùng nào ít gạo hơn? Vậy thùng nào chia ít phần hơn?”
• “Con có thể đoán nhanh: hai số sẽ gần 27 hay cách xa 27?”

Lời giải: Thùng thứ nhất 2 phần, thùng thứ hai 7 phần, tất cả 2 + 7 = 9 phần. Một phần: 54 : 9 = 6 kg. Thùng thứ nhất: 6 × 2 = 12 kg. Thùng thứ hai: 6 × 7 = 42 kg. Thử lại: 12 + 42 = 54; 12/42 = 2/7.

Đáp số: Thùng thứ nhất 12 kg, thùng thứ hai 42 kg.

Đáp án sai hay gặp: “Thùng thứ nhất 42 kg, thùng thứ hai 12 kg”. Phép tính đúng hết, chỉ đảo hai thùng, vì con đọc “bằng 2/7” theo thói quen “số đầu tiên là số lớn”. Cách chặn lỗi này là ghi tên từng thùng lên đoạn và hỏi một câu: “Thùng thứ nhất bằng 2/7 thùng thứ hai, vậy thùng thứ nhất có nhiều hơn không?”

Dừng lại khi: con đảo lần thứ hai. Cho con viết lại đề bằng lời của mình: “Cái nào là cái ít, cái nào là cái nhiều?” trước khi vẽ.

Bài 7. Bẫy đổi đơn vị: hai đoạn dây

Hai đoạn dây dài tất cả 2 m 40 cm. Đoạn dây ngắn bằng 3/5 đoạn dây dài. Hỏi mỗi đoạn dây dài bao nhiêu xăng-ti-mét?

Hỏi gợi mở:

• “Tổng được cho bằng hai đơn vị. Con muốn tính ở đơn vị nào cho dễ?”
• “Con đổi xong thì tổng bằng bao nhiêu xăng-ti-mét?”

Lời giải: Đổi 2 m 40 cm = 240 cm. Đoạn ngắn 3 phần, đoạn dài 5 phần, tất cả 3 + 5 = 8 phần. Một phần: 240 : 8 = 30 cm. Đoạn ngắn: 30 × 3 = 90 cm. Đoạn dài: 30 × 5 = 150 cm. Thử lại: 90 + 150 = 240; 90/150 = 3/5.

Đáp số: Đoạn ngắn 90 cm, đoạn dài 150 cm.

Đáp án sai hay gặp: lấy 2 + 40 = 42 rồi chia 8, hoặc tính 2,4 với 40. Con cộng hai số ở hai đơn vị khác nhau. Cách ngăn là một câu hỏi: “Một mét và một xăng-ti-mét có cộng với nhau được không?” Hãy luôn đổi trước khi vẽ, không đổi giữa chừng.

Dừng lại khi: con chưa chắc 1 m = 100 cm. Ôn đổi đơn vị bằng thước dây ngoài đời thật rồi quay lại bài.

Bài 8. Tổng bị giấu trong chu vi

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 70 m, chiều rộng bằng 2/5 chiều dài. Tính chiều dài và chiều rộng.

Hỏi gợi mở:

• “Chu vi là đi hết một vòng. Đi nửa vòng thì được những cạnh nào?”
• “Vậy tổng của chiều dài và chiều rộng là bao nhiêu?”

Lời giải: Nửa chu vi là tổng chiều dài và chiều rộng: 70 : 2 = 35 m. Rộng 2 phần, dài 5 phần, tất cả 2 + 5 = 7 phần. Một phần: 35 : 7 = 5 m. Rộng: 5 × 2 = 10 m. Dài: 5 × 5 = 25 m. Thử lại: (25 + 10) × 2 = 70; 10/25 = 2/5.

Đáp số: Dài 25 m, rộng 10 m.

Đáp án sai hay gặp: chia ngay 70 cho 7, được một phần 10, rồi dài 50 m, rộng 20 m. Chu vi của hình đó thật ra là 140. Đây là lỗi tổng không phải tổng: 70 là tổng của bốn cạnh, chưa phải tổng của dài và rộng. Cùng ý này với bài tổng hiệu, bạn có thể xem lại bài 4 trong bài tổng hiệu.

Dừng lại khi: con chưa quen công thức chu vi. Đừng ép gộp hai kiến thức mới. Vẽ hình chữ nhật, tô từng cạnh, rồi quay lại.

Bài 9. Tuổi mẹ và tuổi con: hiệu tuổi không đổi

Hiện nay mẹ 32 tuổi, con 8 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con?

Hỏi gợi mở:

• “Sau 1 năm, tuổi mẹ và tuổi con cùng tăng bao nhiêu? Hiệu tuổi hai người đổi không?”
• “Lúc mẹ gấp 3 lần con, mẹ hơn con mấy phần trên sơ đồ?”

Lời giải: Hiệu tuổi không đổi theo năm tháng: 32 − 8 = 24 tuổi. Khi tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con, con là 1 phần, mẹ là 3 phần, mẹ hơn con 3 − 1 = 2 phần. Hai phần là 24 tuổi, nên một phần là 24 : 2 = 12. Lúc đó con 12 tuổi. Con từ 8 tuổi lên 12 tuổi là sau 12 − 8 = 4 năm. Thử lại: 4 năm nữa mẹ 36, con 12, 36 : 12 = 3.

Đáp số: Sau 4 năm.

Đáp án sai hay gặp: “Sau 12 năm” hoặc dùng tổng tuổi 40 để chia phần. Hiệu tuổi mới là thứ đứng yên theo thời gian, còn tổng tuổi tăng mỗi năm thêm 2. Chọn nhầm cái đứng yên là lỗi phổ biến nhất ở bài tuổi. Hỏi con: “Sau 1 năm, mẹ hơn con vẫn 24 tuổi đúng không?”

Dừng lại khi: con chưa tin hiệu tuổi không đổi. Cho con thử với tuổi của hai anh em trong nhà: năm nay và 5 năm sau, hai người cách nhau mấy tuổi.

Bài 10. Hiệu bị giấu trong việc “cho”

Bình có số bi bằng 2/3 số bi của An. Nếu An cho Bình 6 viên bi thì hai bạn có số bi bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Hỏi gợi mở:

• “Sau khi An cho 6 viên và hai bạn bằng nhau, lúc đầu An hơn Bình mấy viên?”
• “Trên sơ đồ, phần hơn đó là mấy phần?”

Lời giải: An cho đi 6 viên, Bình nhận 6 viên thì bằng nhau, nên lúc đầu An hơn Bình 6 + 6 = 12 viên. Trên sơ đồ, Bình 2 phần, An 3 phần, An hơn 3 − 2 = 1 phần. Một phần là 12 viên. Bình: 12 × 2 = 24 viên. An: 12 × 3 = 36 viên. Thử lại: An cho 6 còn 30, Bình thành 30, bằng nhau; 24/36 = 2/3.

Đáp số: An 36 viên, Bình 24 viên.

Đáp án sai hay gặp: lấy hiệu là 6 (chỉ tính một lần). Con ra một phần là 6, rồi An 18, Bình 12, nhưng nếu An cho 6 thì còn 12 và Bình thành 18, hai bạn vẫn chưa bằng nhau theo cách tính đó. Ghi nhớ: khi chuyển qua lại, tổng giữ nguyên, hiệu thay đổi gấp đôi số chuyển.

Dừng lại khi: con không thấy vì sao 6 thành 12. Cho con làm với hai chồng nhãn dán, chuyển 1 cái và đếm lại hiệu.

Bài 11 và 12: Rất khó, tuổi hai thời điểm và tỉ số đổi

Phần này không bắt buộc. Chỉ thử khi con đã đúng liền ba bài Mức 2 mà không cần nhắc vẽ sơ đồ. Đây là loại bài thường gặp trong đề chọn lọc và đề olympic, nơi một tỉ số chưa đủ để giải.

Bài 11. Tuổi mẹ và con ở hai thời điểm (hiệu không đổi, phần thay đổi)

Cách đây 5 năm, tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Sau 5 năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

Hỏi gợi mở:

• “Hiệu tuổi mẹ con có đổi qua thời gian không? Vậy ta có thể dùng nó chung cho hai thời điểm không?”
• “Ở mỗi thời điểm, hiệu đó là mấy phần?”
• “Từ lúc đầu đến lúc sau, tuổi con tăng mấy năm?”

Lời giải: Gọi hiệu tuổi (không đổi) là hiệu. Cách đây 5 năm, con 1 phần, mẹ 7 phần, hiệu là 6 phần; vậy tuổi con lúc đó là hiệu : 6. Sau 5 năm nữa, con 1 phần, mẹ 3 phần, hiệu là 2 phần; tuổi con lúc đó là hiệu : 2. Giữa hai thời điểm cách nhau 5 + 5 = 10 năm, tuổi con tăng đúng 10 tuổi. Nên hiệu : 2 − hiệu : 6 = 10. Mà hiệu : 2 chính là 3 phần của hiệu : 6, nên hiệu : 2 − hiệu : 6 là 2 lần (hiệu : 6). Do đó 2 lần (hiệu : 6) = 10, suy ra hiệu : 6 = 5. Vậy cách đây 5 năm con 5 tuổi, hiện nay con 10 tuổi. Hiệu tuổi: 5 × 6 = 30. Mẹ hiện nay: 10 + 30 = 40 tuổi.

Thử lại: 5 năm trước mẹ 35, con 5, 35 : 5 = 7. Sau 5 năm nữa mẹ 45, con 15, 45 : 15 = 3. Đúng cả hai thời điểm.

Đáp số: Mẹ 40 tuổi, con 10 tuổi.

Đáp án sai hay gặp: coi hai tỉ số 7 lần và 3 lần như hai bài tổng tỉ riêng. Con chưa nhận ra thứ nối hai thời điểm là hiệu tuổi, và vì không đổi nên nó là cầu nối duy nhất. Hãy hỏi: “Thứ gì giống nhau ở cả hai bức tranh?”

Dừng lại khi: con nói “con không hiểu đề” sau hai lần đọc. Đây là bài cho nhiều lần ngồi, không phải một tối. Cho con vẽ hai sơ đồ cạnh nhau, ghi mốc thời gian lên từng cái.

Bài 12. Tỉ số đổi sau khi chuyển (tổng giữ nguyên)

Hai thùng chứa tất cả 72 lít nước. Lúc đầu, số nước ở thùng A bằng 3/5 số nước ở thùng B. Sau khi chuyển một ít nước từ thùng B sang thùng A thì số nước ở thùng A bằng 4/5 số nước ở thùng B. Hỏi đã chuyển bao nhiêu lít nước?

Hỏi gợi mở:

• “Khi chuyển nước từ thùng này sang thùng kia, thứ gì không đổi?”
• “Vậy ta vẽ hai sơ đồ, mỗi sơ đồ chia thành mấy phần?”

Lời giải: Tổng không đổi, luôn 72 lít. Lúc đầu: A 3 phần, B 5 phần, tất cả 8 phần; một phần là 72 : 8 = 9 lít. A có 9 × 3 = 27 lít, B có 9 × 5 = 45 lít. Lúc sau: A 4 phần, B 5 phần, tất cả 9 phần; một phần là 72 : 9 = 8 lít. A có 8 × 4 = 32 lít, B có 8 × 5 = 40 lít. Thùng A tăng từ 27 lên 32, tức là nhận 5 lít. Thử lại: 45 − 5 = 40; 32 + 40 = 72; 32/40 = 4/5.

Đáp số: Đã chuyển 5 lít.

Đáp án sai hay gặp: dùng “một phần” của sơ đồ đầu cho sơ đồ sau. Hai sơ đồ có số phần khác nhau (8 và 9), nên giá trị một phần cũng khác (9 lít và 8 lít). Hãy hỏi: “Một phần ở hình đầu và một phần ở hình sau có bằng nhau không?”

Dừng lại khi: con thấy “đổi tỉ số” rối. Cho con làm với 72 viên kẹo chia hai đĩa, đúng 27 và 45, rồi chuyển từng viên và đếm.

Từ 12 bài này, chọn lộ trình nào cho con?

Bảng dưới xếp 12 bài vào ba mức, để bạn không ép con quá sớm.

Mức	Bài	Dấu hiệu con sẵn sàng	Khối lượng gợi ý
Vừa sức	1 đến 5	Tự vẽ sơ đồ chia phần, nói được “một phần bằng bao nhiêu”	1 bài mỗi ngày trong 1 tuần
Thử thách	6 đến 10	Biết tìm tổng, hiệu, tỉ số ẩn mà không cần bạn gợi ý	2–3 bài mỗi tuần, nghỉ giữa chừng
Rất khó	11, 12	Giải đúng liền 3 bài Mức 2, vẫn hứng thú	1 bài mỗi vài ngày, không áp lực

Với con lớp 5 theo bài trên lớp, bạn có thể bám theo lộ trình toán nâng cao lớp 5: học trên lớp trước, nâng cao sau. Bài 7 và bài 11 dùng hiệu và đơn vị; nếu con cần ôn thêm, bài toán chuyển động lớp 5 cũng dùng cách “vẽ trước, tính sau” tương tự. Với con nhỏ hơn đang tập đọc đề, bài toán có lời văn lớp 3 là bước đệm phù hợp.

Nếu muốn con vừa vẽ vừa nói thành lời, bạn có thể cho con giải thích bằng giọng nói trong ứng dụng MathMind. Con chỉ cần nói “tỉ số là các phần bằng nhau” bằng lời của mình, trợ lý sẽ hỏi lại từng bước thay vì đọc sẵn đáp án. Công cụ này là người hỗ trợ, không thay thế bạn ngồi cạnh con những lúc con chán nản.

Trang in cho con tự luyện (chỉ có đề)

1. Hai số có tổng là 56, số bé bằng 3/4 số lớn. Tìm hai số.
2. Hiệu của hai số là 20, số lớn gấp 5 lần số bé. Tìm hai số.
3. Một hình chữ nhật có chu vi 48 cm, chiều rộng bằng 1/3 chiều dài. Tính chiều dài và chiều rộng.
4. Hiện nay bố 35 tuổi, con 7 tuổi. Sau mấy năm nữa tuổi bố gấp 2 lần tuổi con?

Đáp số để bạn kiểm tra: (1) 24 và 32; (2) 5 và 25; (3) dài 18 cm, rộng 6 cm; (4) sau 21 năm (hiệu tuổi 28, lúc đó con 28 tuổi, bố 56 tuổi).

Ba dấu hiệu cho thấy nên dừng ngay hôm đó: con đoán số rồi thử, con vẽ sơ đồ nhưng không còn nhìn nó, hoặc con nói “con ghét toán”. Một tối nghỉ không làm mất gì, nhưng một tối ép buộc có thể làm mất hứng cả tuần.

Câu hỏi thường gặp về bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ

Bài toán tổng tỉ học ở lớp mấy?

Theo chương trình GDPT 2018, nội dung tỉ số và các bài toán liên quan nằm ở Toán lớp 5. Mỗi bộ sách (Kết nối tri thức, Cánh Diều, Chân trời sáng tạo) có thể xếp thứ tự chủ đề lệch nhau, nên bạn hãy xem mục lục sách của con để biết tuần nào con học tới.

Công thức giải bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ là gì?

Tổng tỉ: một phần = tổng : tổng số phần; mỗi số = một phần × số phần của số đó. Hiệu tỉ: một phần = hiệu : hiệu số phần, rồi nhân lên tương tự. Nhưng thay vì bắt con học thuộc, hãy dạy con vẽ hai đoạn chia phần bằng nhau. Công thức chỉ là bức tranh viết gọn.

Con hay đảo hai số (tỉ số ngược) thì sửa thế nào?

Đừng nhắc “xem lại”. Hãy hỏi: “Ai ít hơn thì đoạn của ai ngắn hơn?” và cho con ghi tên lên mỗi đoạn trước khi chia phần. Sau vài bài, con tự thấy câu “bằng 2/7” có nghĩa nhỏ so với lớn, không phải thói quen “số đầu là số lớn”.

Làm sao biết bài nào là tổng tỉ, bài nào là hiệu tỉ?

Hỏi con: “Đề cho hai số cộng lại hay hơn kém nhau?” Nếu đề có từ “tất cả”, “cả hai”, “chu vi” thì thường cho tổng. Nếu có “nhiều hơn”, “ít hơn” hay “hơn kém” thì cho hiệu. Có bài giấu hiệu trong việc “cho, chuyển” như bài 10, nên con luôn cần thử lại bằng đề.

Bài tuổi: vì sao hiệu tuổi không đổi?

Vì mỗi năm trôi qua, cả hai người cùng thêm 1 tuổi. Người lớn hơn 24 tuổi hôm nay vẫn hơn 24 tuổi sau 10 năm. Tổng tuổi thì tăng mỗi năm 2 đơn vị, nên đừng dùng nó làm điểm tựa. Bài 9 và 11 ở trên là hai ví dụ điển hình.

Sơ đồ đoạn thẳng có bắt buộc khi làm bài không?

Thường không bắt buộc trong bài làm, nhưng nó là công cụ suy nghĩ rất mạnh. Nếu giáo viên của con yêu cầu một cách trình bày cụ thể, hãy theo giáo viên. Ở nhà, vẽ nháp để hiểu luôn tốt, sau đó con có thể bỏ dần khi đã quen.

Có file PDF bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ để in cho con không?

Có. Bạn tải ở ô “Tải PDF” gần đầu bài: 5 trang đề gồm 12 bài trong bài viết và 4 bài tự luyện, có chỗ trống để con vẽ sơ đồ, cùng 4 trang đáp án có sơ đồ đoạn thẳng và lời giải. Trang đầu có một ô tóm tắt cách giải tổng tỉ và hiệu tỉ. Phần đáp án nằm ở các trang cuối, nên bạn có thể chỉ in các trang đề cho con.

Con lớp 4 có nên học trước tổng tỉ và hiệu tỉ không?

Không cần vội. Hãy để con vững tổng hiệu và phân số trước, và để nội dung tỉ số học trên lớp trước khi nâng cao. Nếu con lớp 4 thích vẽ sơ đồ và tự muốn thử, cho con làm bài 1 và 2 bằng vật thật là đủ.

Kết luận

Bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ không khó vì phép tính, mà khó vì con chưa thấy các phần bằng nhau. Một sơ đồ, một phần, một lần chia, một lần nhân: đó là toàn bộ câu chuyện. Khi con tự vẽ và tự giải thích được, công thức tự nhiên trở thành thứ con nhớ vì hiểu.

Tối nay bạn chỉ cần một tờ giấy, một cây bút chì và bài 1. Vẽ cùng con một đoạn ngắn và một đoạn dài gấp ba, hỏi “mỗi phần bằng nhau thì cả hai đoạn có mấy phần?”, rồi lắng nghe con trả lời. Muốn đọc thêm về cách dẫn con tư duy thay vì làm theo mẫu, mời bạn xem các bài khác trong blog MathMind.